【セカンドの限界】ぷよ量と時間の関係式_part2

こんにちは。
前回に引き続き、本質についてお話していきます。(前回記事)
前回記事の内容は読んでいなくても大丈夫です。

まず、「ぷよ量と時間の関係式」を少し直します。
その後に、一定時間内にセカンド（ぷよ量０からの本線）がどれだけ組めるのか、を調べてみます。（こっちだけ見たい人は、前半は飛ばしても大丈夫です）



0. 前回のまとめ
　
　前回の記事を投稿後、自分で読み直してみたら、深刻なレベルで読みにくかったので、今回使う式はこちらにまとめていきます。

　まず、フィールドにあるぷよ量が R_0 個の状態から、ノータイムでツモって、ぷよ量が R になったとします。このときにかかる時間 t (単位はフレーム)は、

となりました（式1）。この式には誤差があり、一手当たり１フレーム分くらい早い評価になっている傾向がありました。


　上の式は、フィールドを６列すべて使って、ノータイム、ちぎりも回しもなしで置いている状況を考えています。

　幅 w (w=1~6)で組んでいるとすると、(式1)は次の形に変わります（式2）。


　また、ちぎり、回し等のタイムロスを考える方法として、t を t - t_loss で置き換えることを考えました。例えば、（式3）

　となるとき、100万TAの世界記録を参考にして、 α = 0.0490 になりました。

　

　以上が前回のまとめです。



1.(式1)の誤差をめっちゃ減らした

　前回の(検証・誤差)において、一手当たり1フレームだけ早い評価になっていそうだ、ということがわかっていました。そこで、一手、すなわち (R- R_0)/2 の係数を1だけ増やした式を考えました。



　これを(式1')とします。前回の検証で使った実測値とのずれは、
式1…最大44.4 , 平均13.94 , 絶対値を取った平均14.4
式1’…最大20.2 , 平均1.28 , 絶対値を取った平均4.68
　となり、かなり小さくなりました。見た感じ目測の誤差ばっかりが残っていそうです。（一枚目：(式1)との差、二枚目：(式1')との差。読みたいときは新しいタブで開いてください。）








(正当化)
　適当にいじってしまったので、ちゃんと正当化したいと思います。前回記事でやった「離散的な式」との比較を、平均化せずに（ずっと誤差０で）やりました。これにより、半回転も考慮できるようになり、1/2の確率で半回転したりしなかったりすると仮定すると、二通りのモデルに対し、(式1’)は誤差0になりました。
　一手置くのにかかる時間は、前回同様ラッティーさんの記事(https://puyo-camp.jp/posts/71019)参照です。


・一つ目のモデル（縦置き）


図のように1手目、2手目、3手目…と置いていくと、フィールドが埋まるまですべて置くのにかかる時間は、
　56 + 54 + 54 + 52*3 + 50*3 + 48*3 +…+ 34*3 + 32*3 + 32 + 30
となります。
　3+3n 手だけ引く時間を考えると、(0≦n≦10)

となります。
　3+3n_0 手引いた時点と、3+3n引いた時点との差を考えます(n_0＜n)。R_0= 6+ 6n_0 , R= 6+ 6n を用いて変形すると、



となります。
　(式1)と比べると、二次の係数は一致していて、差は R- R_0 です。よって、一手(すなわち(R- R_0)/ 2) あたり2フレーム遅くなっています。これに半回転した場合は、一手当たり2フレーム早くなるので、(式1)と完全に一致します。よって、(式1’)と比べると一手当たり+1フレーム(半回転なし)または-1フレーム（半回転あり）になるので、平均すれば誤差は０になります。

　これをもって、このモデルに対しては(式1’)の誤差は０であると言えました。



・2つ目のモデル（横置き）



このように置くときも、上記と同様にして計算します。4+3n 手だけ引く時間を考えると、(0≦n≦10)


となり、さらに変形すると、(式1)よりも一手当たり2/3フレームだけ遅くなっていることがわかります。半回転すると、一手当たりさらに2/3フレームだけ遅くなるので、(式1)と比べると4/3フレームだけ遅くなります。(式1’)と比べると、-1/3フレーム(半回転なし)または+1/3フレーム（半回転あり）になります。
　こちらでも合わせて誤差０です。



（正当化終わり）





　ということで以降は(式1)ではなく(式1’)を使っていきます。(式2)も書き換えておくと、


となります（式2'）。(式3)のα も計算しなおすと、


となりました。





2. 相手のm連鎖中に組めるセカンドの限界

　上記にもあるラッティーさんの記事によると、m連鎖が消えるのにかかる時間は、約82mフレームです。この時間を基準として、R_0 = 0 からどこまでツモれるかを計算してみましょう。


　ひとまず6列使うことを考えて、(式1’)を用いて計算します。「マッキーセカンド」等を想定して、 t_loss = 0 としておきます。

（表1）



　まずはぷよ量R を見ていきましょう。私が一番気になったのは、相手が19連鎖撃っている時間で、こちらは R= 75.1 、つまりほぼ19連鎖分ツモれるということです。SEGAの開発者の想定があったりしたのでしょうか。昔話になりますが、ACぷよ通で、TAS同士が特大連鎖を打ち合う、という動画があるのですが（ニコニコ動画）、こちらは19連鎖を打つ側がしばらく待った上で、セカンドはR= 74 なので、やはりぷよスポのほうが多くツモれるようになっているようです。（あんまり変わんなくね？キャンセルのせい？）



　次に、ぷよ量と連鎖数の関係も見ておきます。
最大連鎖　…　R/ 4 小数切り捨て
最小連鎖　…　(R-12)/ 4 小数切り上げ
　で計算しています。すべて4連結で消すことを考えると、余るぷよが 0~12個（各色3個ずつ）になるためです。色が偏りすぎで連鎖が組めないみたいな場合は考えていません。
　余るぷよを平均6個だと思って、大体の連鎖数を出したのがアバウト連鎖です。小数部分が大きくなるほど組む難易度が下がり、＋1連鎖もしやすくなる、みたいなノリです。
　


　例として、セカンドが大きめの（6列全部使いたい）状況を考えてみます。相手が13連鎖を先打ち、こちらがその連鎖時間いっぱいまで伸ばしたとします。こちらの連鎖数が14なら、相手はセカンドをアバウト11.1連鎖組めます（表1）。点数的には7,8連鎖で返るので、セカンドが安定している人相手なら結構不利です。こちらが15連鎖なら、相手はアバウト12.2連鎖組めます。点数的には10連鎖で返るので、理論値セカンドを組まれたら負けます。感覚としては11連鎖でもだいぶ難しいなあと思うのですが、どうでしょうか。下に載せますが、タイムロスを考えたときはアバウト10.8連鎖になるので、こちらを（飽和を意識して組んだ人の）理論値と思うと、かなり難しそうです。

↑↑↑こういう状況の有利不利がわかる人がいたら教えてください！！！





　次に、幅を狭くして組んだ場合（式2’）を計算します。ついでにタイムロスがある場合も考えます。以降はぷよ量R のみの表になります。


（表2）


　一列当たり13個しか置けないので、w= 1~5 のときはほどなくしてカンストします。このままだと分かりづらいので、散布図と差分の表を載せます。



（表3）

　グラフ縦軸1目盛の差が一手分になります。グラフも近くなっちゃって見づらいので、正確に見たいときは(表3)の値を÷２すれば何手分の差なのかがわかります。w= 6 のときと比べると、狭く組んだ時は、カンスト付近で2~3 手だけアドバンテージを得ていることになります。

　2~3 手と聞くと、それほど大きくない気もしますが、「発火色が引ける確率」を考えるとかなり違います。一手で特定の色が来る確率は7/16 なので、一手多く引けたら、発火色がずーーーーーっと引けない確率は9/16 倍、すなわちほぼ半減します。+2,3 手のときは、引けない確率は81/256= 約0.32倍、729/4096= 約0.18倍、となり、だいぶ有利になります。



奇跡、みたいなもん。
　セカンドの具体例として、次の動画の2Pのセカンドを見ていきましょう。
 
　これがほぼ理論値になっています。まあ見るからにそうですね。
　まず、全消しから21手ツモって(R=42) 10連鎖を打っているので、Rと連鎖数の関係において理論値です。次に、Rと時間の関係を見ると、1Pの連鎖時間が11連鎖分+ちょっとくらいです。対して2Pは大体4列使って組んでいるので、(表2)より、11連鎖の時間でツモれるのがR= 41.3 です。さらに、+ちょっとの連鎖時間と、上部2か所を尖らせた分（キャンセルもないと間に合わない？私にはわからない）で+0.7だけツモって、無事R= 42 となりました。奇跡みたいなものです。






3.まとめ

　(式1)を見直して、セカンドの考察をしました。

　誤差はほとんどなくなったし、セカンドは結構組めるし、うれしいですね。

　今回の記事はこれで以上になります。いかがでしたか？


　やっと応用例が書けました。まだR_0=0の場合しかやっていないので、もうちょっと複雑な状況の応用例も書きたいです。