〇先と勝率について

こんにちは，初めての投稿です．
最近ぷよクロを初めて，レート2200くらいをさ迷っているものです．
実力の近い人と対戦しながら上達していきたいなと思っています．

さて，今回は〇先での勝率について気になったのでまとめてみました．
2人対戦の場合について考えます．
1p側の勝率がp,2pの勝率が(1-p)の時，n先した時の勝率はどれくらいになるでしょうか．

(n-1)勝 i 敗の状態(i<=n-1)から勝つ確率を，i=0,1,...,n-1まで集めればよいので

となります．
ちゃんと計算するのはめんどくさいのでプロットしてみました．
その結果が以下です．

横軸が1戦した時の1pの勝率p，縦軸がn先での1pの勝率です．
6割勝てる相手であれば100先では大体勝てることが分かりますね．
逆に2先だと8割方勝てる相手にも1割の確率で負けてしまうことが分かります．
少し面白いですね．

同様にn先m本勝負についても考えてみましょう．
計算式は単純で，

の式のnをmにしてpにを代入したものになります．
(勝率がでm先するのと同じ)

この時の勝率は以下のようになります．


1先100本でも10先10本でもほぼ変わらない結果になりました．
個人的には少し意外で面白かったです．

ぷよぷよとは(ほぼ)関係ない初投稿でした．
(もし数式等にミスがあればこそっと教えてもらえると嬉しいです．)


おまけ
ぷよぷよチャンピオンシップ等の2先2本の場合